Jawaban Soal Matematika Integral Ganda ∫(x=0~2a)∫(y=0~√(2ax-x²)) ( x² + y² ) dy dx

 

Soal ini adalah soal integral ganda:

$$\int_{x=0}^{2a} \int_{y=0}^{\sqrt{2ax - x^2}} (x^2 + y^2) \, dy \, dx$$

Kita akan menyelesaikan ini langkah demi langkah.

---

🔹 Langkah 1: Pahami Batas Integral

Fungsi batas dalam integral dalam bentuk:

• $x$ dari 0 hingga $2a$

• $y$ dari 0 hingga $\sqrt{2ax - x^2}$

Perhatikan bahwa batas atas untuk $y$ adalah $\sqrt{2ax - x^2}$, yang merupakan persamaan dari setengah lingkaran:

$$y^2 = 2ax - x^2 \Rightarrow x^2 - 2ax + y^2 = 0 \Rightarrow (x - a)^2 + y^2 = a^2$$

Ini adalah persamaan lingkaran berjari-jari $a$, berpusat di $(a, 0)$. Tapi karena $y$ dari 0 sampai $\sqrt{\cdot}$, ini hanya bagian atas setengah lingkaran.

---

🔹 Langkah 2: Evaluasi Integral Dalam (dengan variabel y)

$$\int_{0}^{\sqrt{2ax - x^2}} (x^2 + y^2) \, dy$$

Karena $x^2$ adalah konstanta terhadap $y$, kita bisa pisahkan:

$$= \int_0^{\sqrt{2ax - x^2}} x^2 \, dy + \int_0^{\sqrt{2ax - x^2}} y^2 \, dy$$

Hitung masing-masing:

a.

$$\int_0^{\sqrt{2ax - x^2}} x^2 \, dy = x^2 \cdot \left[ y \right]_0^{\sqrt{2ax - x^2}} = x^2 \cdot \sqrt{2ax - x^2}$$

b.

$$\int_0^{\sqrt{2ax - x^2}} y^2 \, dy = \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_0^{\sqrt{2ax - x^2}} = \frac{1}{3} \left( \sqrt{2ax - x^2} \right)^3$$

Gabungkan hasil a dan b:

$$= x^2 \sqrt{2ax - x^2} + \frac{1}{3} (2ax - x^2)^{3/2}$$

---

🔹 Langkah 3: Evaluasi Integral Luar (dengan variabel x)

Sekarang kita integralkan:

$$\int_{0}^{2a} \left[ x^2 \sqrt{2ax - x^2} + \frac{1}{3} (2ax - x^2)^{3/2} \right] dx$$

Agar lebih mudah, kita lakukan substitusi trigonometri.

---

🔹 Langkah 4: Substitusi Trigonometri

Ingat bahwa sebelumnya kita temukan bahwa daerah integral adalah setengah lingkaran dengan jari-jari a. Jadi mari kita lakukan substitusi:

$$x = a(1 - \cos\theta) \Rightarrow dx = a \sin\theta \, d\theta$$

Maka:

$$2ax - x^2 = 2a[a(1 - \cos\theta)] - [a(1 - \cos\theta)]^2 = 2a^2(1 - \cos\theta) - a^2(1 - \cos\theta)^2$$

Hitung:

$$= a^2 \left[ 2(1 - \cos\theta) - (1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta) \right] \\ = a^2 \left[ 2(1 - \cos\theta) - (1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta) \right] \\ = a^2 \left[ 2 - 2\cos\theta - 1 + 2\cos\theta - \cos^2\theta \right] \\ = a^2 (1 - \cos^2\theta) = a^2 \sin^2\theta$$

Jadi:

$$\sqrt{2ax - x^2} = a \sin\theta \quad \text{dan} \quad (2ax - x^2)^{3/2} = (a^2 \sin^2\theta)^{3/2} = a^3 \sin^3\theta$$

Dan:

$$x = a(1 - \cos\theta) \Rightarrow x^2 = a^2(1 - \cos\theta)^2$$

---

🔹 Langkah 5: Ubah Integral dalam Variabel θ

Integral menjadi:

$$\int_{\theta=0}^{\pi} \left[ a^2(1 - \cos\theta)^2 \cdot a \sin\theta + \frac{1}{3} a^3 \sin^3\theta \right] \cdot a \sin\theta \, d\theta$$ $$= \int_0^{\pi} \left[ a^3(1 - \cos\theta)^2 \sin\theta + \frac{1}{3} a^3 \sin^3\theta \right] \cdot \sin\theta \, d\theta$$ $$= a^3 \int_0^{\pi} \left[ (1 - \cos\theta)^2 \sin^2\theta + \frac{1}{3} \sin^4\theta \right] d\theta$$

Sekarang tinggal hitung integral ini.

---

🔹 Langkah 6: Hitung Integral

Kita pecah:

$$I = \int_0^{\pi} (1 - \cos\theta)^2 \sin^2\theta \, d\theta + \frac{1}{3} \int_0^{\pi} \sin^4\theta \, d\theta$$

a. Hitung $\int_0^{\pi} \sin^2\theta (1 - \cos\theta)^2 \, d\theta$

Kembangkan:

$$(1 - \cos\theta)^2 = 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta$$

Jadi:

$$\int_0^{\pi} \sin^2\theta (1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta) \, d\theta \\ = \int_0^{\pi} \left( \sin^2\theta - 2\sin^2\theta \cos\theta + \sin^2\theta \cos^2\theta \right) d\theta$$

Gunakan identitas:

• $\int_0^{\pi} \sin^2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{2}$

• $\int_0^{\pi} \sin^2\theta \cos\theta \, d\theta = 0$ (fungsi ganjil pada [0, π])

• $\int_0^{\pi} \sin^2\theta \cos^2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{8}$

Jadi:

$$\int_0^{\pi} \sin^2\theta (1 - \cos\theta)^2 \, d\theta = \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$$

b. Hitung $\int_0^{\pi} \sin^4\theta \, d\theta$

Gunakan identitas:

$$\sin^4\theta = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{8} \cos 4\theta$$

Jadi:

$$\int_0^{\pi} \sin^4\theta \, d\theta = \int_0^{\pi} \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{8} \cos 4\theta \right) d\theta = \frac{3}{8} \pi$$

---

🔹 Langkah 7: Gabungkan Semua

$$\int = a^3 \left( \frac{5\pi}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{8} \right) = a^3 \left( \frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8} \right) = a^3 \cdot \frac{6\pi}{8} = a^3 \cdot \frac{3\pi}{4}$$

---

✅ Jawaban Akhir:

$$\boxed{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{2a}{\int }_{y=0}^{\sqrt{2ax-x^2}}(x^2+y^2)dydx=\frac{3\pi }{4}{a}^3}}$$